概率论与数理统计第七章_第18讲（36页）.ppt

从前面两节的讨论中可以看到:
● 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需  
要判断采用哪一种估计为好的问题。
● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大
似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡量这个估计优劣的问题。
估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。
§7.3  估计量的优良性准则
7.3.1  无偏性
说明：无偏性的意义是：用估计量  估计 
即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计。
证明：因为 X1, X2, …, Xn 独立同分布，且E(Xi )=μ ,  所以
另一方面，因
于是，有
注意到
前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N(μ , σ2) 中参数 σ2 的估计,均为
很显然，它不是 σ2  的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为 n-1，获得样本方差 S2来估计 σ2 的理由。
II. 均方误差准则
是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。
要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成        ，即
哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。
注意：均方误差可分解成两部分:
证明：
上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和。
注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:
如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。
这表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好。 
前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值 (即实轴上点) 来估计未知参数。
§7.4  正态总体的区间估计(一)
其优点是：可直地告诉人们  “未知参数大致是多少”；
缺点是：并未反映出估计的误差范围 (精度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。
而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处 。
例如：在估计正态总体均值 μ 的问题中,若根据一组实际样本，得到 μ 的极大似然估计为 10.12。
一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数 μ 的可靠度 (也称置信系数)。