概率论与数理统计第六章_第16讲（23页）.ppt

§6.4   正态总体
6.4.1  χ 2 分布
它是由正态分布派生出来的一种分布。
定义1:  设 X1, X2, …, Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0, 1),  则称随机变量
服从自由度为 n 的卡方分布，记成   。
分布的密度函数为
由     分布的定义，不难得到其如下性质：
进一步，由中心极限定理可以推出,  n 充分大时,
近似于标准正态分布 N(0,1)。
分布密度函数图形
分布分位点
t 分布的概率密度为
为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T ～ tn。
6.4.2   t 分布
定义2:  设 X ～N(0, 1) ,  Y ～χn2 ,  且 X与Y 相互独立，则称随机变量
t 分布的概率密度图形
当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。  
数学期望与方差
t 分布的分位点
6.4.3   F 分布
则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F ~ Fm ,n 。
定义3：
F 分布的概率密度为
F 分布的分位点
★ 一个需要注意的问题:
这个关系式的证明如下：
证明：若 X ~ Fm,n，则 Y = X -1 ~ Fn,m。依分位点定义，
上式等价于
这就证明了(1)式。
它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。
例如：对m=12,  n=9,  α=0.95,  我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知
可从F 分布
表中查到
★ 还有一个重要结果:  若X ~ tn , 则X2 ~ F1,n。
请同学们自己证明。
定理 1：
6.4.4   正态总体样本均值与样本方差的分布
定理的证明超出了教学范围，我们把它放在了教材§6.4 末尾的附录 ( p143—145)中。
定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。
根据定理1(基本定理),有
再根据正态分布的性质(见p110,例4.2.6),知