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ABSTRACT
The majority ofoptimal Bonus-Malus Systems (BMS) presented up to now
in the actuarial literature assign to each policyholder a premium based on the
number ofhis accidents.In this way a policyholder who had an accident with
a small size ofloss is penalized unfairly in the same way with a policyholder
who had an accident with a big size ofloss.Motivated by this,we develop
in this paper,the design ofoptimal BMS with both a frequency and a severity
component.The optimal BMS designed are based both on the number ofacci-
dents ofeach policyholder and on the size ofloss (severity) for each accident
incurred.Optimality is obtained by minimizing the insurer’s risk.Furthermore
we incorporate in the above design ofoptimal BMS the important a priori
information we have for each policyholder.Thus we propose a generalised BMS
that takes into consideration simultaneously the individual’s characteristics,
the number ofhis accidents and the exact level ofseverity for each accident.
KEYWORDS
Optimal BMS,claim frequency,claim severity,quadratic loss function,a pri-
ori classification criteria,a posteriori classification criteria.
1.INTRODUCTION
BMS penalize the policyholders responsible for one or more claims by a
premium surcharge (malus) and reward the policyholders who had a claim
free year by awarding discount ofthe premium (bonus).In this way BMS
*Department ofStatistics,Athens University ofEconomics and Business,Patission 
76,10434,Athens,
Greece.E-mail for correspondence nef@aueb.gr and svrontos@aueb.gr
This work has been partially supported by 96SYN 3-19 on “Design ofOptimal Bonus-Malus Sys-
tems in Automobile Insurance”and the General Secreteriat ofResearch and Technology ofGreece.
The authors would like to thank the referees for their valuable comments.
ASTIN BULLETIN,Vol.31,No.1,2001,pp.1-22 
encourage policyholders to drive carefully and estimate the unknown risk of
each policyholder to have an accident.
A BMS is called optimal ifit is:1.financially balanced for the insurer,
that is the total amount ofbonuses is equal to the total amount ofmaluses.
2.Fair for the policyholder,that is each policyholder pays a premium propor-
tional to the risk that he imposes to the pool.Optimal BMS can be divided in
two categories:those based only on the a posteriori classification criteria and
those based both on the a priori and the a posteriori classification criteria.As
a posteriori classification criteria are considered the number ofaccidents of
the policyholder and the severity ofeach accident.As a priori classification
criteria are considered the variables whose their values are known before the
policyholder starts to drive,such as characteristics ofthe driver and the auto-
mobile.The majority ofBMS designed is based on the number ofaccidents
disregarding their severity.Thus first let us consider the design ofoptimal
BMS based only on the a posteriori claim frequency component.
1.1.BMS based on the a posteriori claim frequency component
Lemaire (1995) developed the design ofan optimal BMS based on the num-
ber ofclaims ofeach policyholder,following a game-theoretic framework
introduced by Bichsel (1964) and Bühlmann (1964).Each policyholder has to
pay a premium proportional to his own unknown claim frequency.The use
ofthe estimate ofthe claim frequency instead ofthe true unknown claim
frequency will incur a loss to the insurer.The optimal estimate ofthe policy-
holder’s claim frequency is the one that minimizes the loss incurred.Lemaire
(1995) considered,among other BMS,the optimal BMS obtained using the
quadratic error loss function,the expected value premium calculation princi-
ple and the Negative Binomial as the claim frequency distribution.Tremblay
(1992) considered the design ofan optimal BMS using the quadratic error
loss function,the zero-utility premium calculation principle and the Poisson-
Inverse Gaussian as the claim frequency distribution.Coene and Doray (1996)
developed a method ofobtaining a financially balanced BMS by minimizing
a quadratic function ofthe difference between the premium for an optimal
BMS with an infinite number ofclasses,weighted by the stationary probability
ofbeing in a certain class and by imposing various constraints on the sys-
tem.Walhin and Paris (1997) obtained an optimal BMS using as the claim
frequency distribution the Hofmann’s distribution,which encompasses the
Negative Binomial and the Poisson-Inverse Gaussian,and also using as a
claim frequency distribution a finite Poisson mixture.As we see,all the BMS
mentioned above take under consideration only the number ofclaims ofeach
policyholder disregarding their severity.