概率论与数理统计第五章_第14讲（31页）.ppt

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。
所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测。
随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很广泛,  最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出现频率具有稳定性。 
§5.1   大数定律
大量地掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中废品率
5.1.1  切比雪夫不等式
定理1:  设随机变量X有期望μ和方差σ2，则对任给的ε> 0,  有
或
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
放大被积函数
放大积分域
5.1.2  大数定律
首先引入随机变量序列相互独立的概念。
定义1：设 X1, X2, …是一随机变量序列。如果对任意的 n>1， X1, X2, …, Xn相互独立,则称X1, X2, …相互独立。
几个常见的大数定律
定理2 (切比雪夫大数定律):                                                   
设随机变量序列 X1, X2, … 相互独立，且有相同的期望和方差:   E(Xi)=μ,  Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。
则对任意的ε>0，有
证明：
令 n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。
定理证毕。
该大数定律表明：无论正数ε 怎样小,  只要 n充分大，事件                                      发生 的概率均可任意地接近于 1。
即当  n充分大时，      差不多不再是随机变量， 取值接近于其数学期望μ 的概率接近于 1。
在概率论中，将(1) 式所表示的收敛性称为随机变量序列                              
依概率收敛于μ ，记为                   。
下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律。
设nA 是 n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次试验中A发生的概率。