概率论与数理统计第四章_第13讲（22页）.ppt

对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望与方差之外,  还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。
定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y),  即
4.3.1 协方差
Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}.       (1)
(3).  Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；
(1).  Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；
协方差性质
(2).  设 a, b, c, d 是常数，则
Cov( aX+b,  cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；
(4).  Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ，
(5).  Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 
当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；
若 X1, X2, …, Xn 两两独立，则
性质(5)可推广到 n 个随机变量的情形：
协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位的影响。 例如：
Cov(aX,  bY) = ab Cov(X, Y). 
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 。
4.3.2  相关系数
为随机变量X 和Y 的相关系数 。
定义2:   设Var(X) > 0,  Var(Y) > 0,  则称
在不致引起混淆时，记       为     。
相关系数性质
证：由方差与协方差关系，
对任意实数b,  有
0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ),
Var(Y-bX) = 
由方差Var(Y)>0,  知 1-ρ 2≥ 0,  所以 | ρ |≤1。
由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 .
请看下例：
(2).  X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真；
但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y  独立。
所以，
证明:
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 .
同样，得 E(Y)=0,
此外，Var(X) > 0,  Var(Y) > 0 .
但是，在例3.6.2已计算过: X与Y不独立。
存在常数a,  b(b≠0)，
使 P{ Y = a+bX } = 1 ，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关。