概率论与数理统计第三章_第10讲（37页）.ppt

§3.6  随机变量的独立性
事件A与 B独立的定义是：
若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立 。
设 X, Y是两个随即变量,  对任意的 x, y,  若
则称 X与Y 相互独立。 
用联合分布函数与边缘分布函数表示上式,   就是
若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y∈ R,   有
这里“几乎总成立”的含义是：在平面上除去一个面积为零的集合外，公式成立。
分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。
几乎总成立,  则称X与Y相互独立 。
若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj),  有
成立，
则称 X与Y 相互独立。
解: 
例1: 考察例3.2.2(吸烟与肺癌关系的研究)中随机变量X与Y的独立性.
证明：因
所以，X与Y相互独立。
特别地，将 x =μ1, y =μ 2 代入上式，有
f (μ1,μ2) = fX(μ1)fY(μ2)， 即
解:
从而，对一切 x, y∈R ,  均有f (x, y)=f X(x) f Y(y).
故，X与Y是否相互独立。
例3： 设(X,Y) 的概率密度为
问：X与Y是否独立？
解：
由于存在面积不为零的区域 D，使得
故，X与Y不相互独立 。
例4：若(X,Y)的概率密度为
问X与Y是否独立？
3.7.1  离散型分布情形
例1：若X与Y独立，且 P(X=k)=ak ,  k=0,1,2, … , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, …,  求 Z=X+Y 的概率分布。
解：
§3.7   随机变量函数的分布
证明:   依题意，有          
由卷积公式
得
即 Z 服从参数为             的泊松分布。
设X和Y的联合密度为 f (x, y), 求 Z=X+Y 的概率密度。 
因 Z =X+Y 的分布函数是:
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
这里积分区域 D={ (x, y):  x+y ≤z }，是直线 x+y = z 左下方的半平面。
3.7.2   连续型分布的情形
化成累次积分,  得
固定z和y,  对方括号内的积分作变量代换,        令 x= u-y,  得
变量代换
交换积分次序
由概率密度与分布函数的关系,  即得 Z=X+Y 的概率密度
由X和Y的对称性,   知 fZ (z)又可写成