问题的提出
在实际中,人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布,
§2.4 随机变量函数的分布
求截面面积 的分布。
又如:已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布,
求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。
一般地,设随机变量 X 的分布已知,求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。
这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
解:当 X 取值 -1,0,1,2 时,Y 取对应值 4,1,0 和 1。
由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1,P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7,P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 .
例1:设随机变量 X 有如下概率分布:
求 Y= (X – 1)2 的概率分布。
得 Y 的概率分布:
一般地,若X是离散型 随机变量,概率分布为
如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同的,把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,….
把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加,记成 qi , 则 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X) 的概率分布。
例2:在应用上认为: 单位时间内,一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数 X~P(5),试求随机变量Y=|X-5|的概率分布。
解:由于X的所有可能取值为0, 1, 2, …, 对应的概率分布为
及Y=|X-5|可知,Y 的所有可能取值为0, 1, 2, …。且对每个 i,当 0< i≤ 5时,有 k=5+i 和k=5-i 两个 k 值与 i 对应, 使 |k-5|=i ;
当i=0 或 i≥6 时,只有一个 k 值与 i 对应,使|k-5|=i 。于是,Y的概率分布为:
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
解:设 Y 的分布函数为 FY(y),则
例3:设随机变量X 有概率密度
求 Y = 2X+8 的概率密度。
于是Y 的密度函数
注意到
得
求导可得
当 y>0 时,
例4:设 X 具有概率密度fX(x),求Y=X2的密度。
解:设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),
注意到 Y=X2 ≥0,故当 y≤0时,FY(y)=0;
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