概率论与数理统计第一、二章_第6讲（45页）.ppt

连续型随机变量 X 所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,  指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。
§2.3   连续型随机变量
例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
2.3.1  频率直方图
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 [a, b] ;
a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。
本例中 ε = 1,   a = 127.5,   b = 155.5 。
(4). 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d  ( i=1, 2,  …,  m) 为高作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。
用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,  同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,  分组越来越细时,  直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,  这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。
2.3. 2   概率密度函数
定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量X 的概率密度函数的充要条件。
密度函数的性质
f(x)与 x 轴所围面积等于1。
(3).  对 f(x)的进一步理解：
故,  X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值,  恰好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长度△x 之比的极限。 这里,  如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点 a 处取值，不是事件 {X =a} 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。
若不计高阶无穷小，有：
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率近似等于  f (x ) × △x 。
f (x ) × △x  在连续型随机变量中所起的作用与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作用类似。